高校数学のお話

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計算問題5問解答編　積分法　定積分・不定積分

計算問題　解答編

積分法では面積を求めるにせよ何にせよ、

不定積分・定積分の計算が必要になります。

簡単なものから少し複雑なものまで練習です。

問題　次の不定積分・定積分を計算してください。

（１） $\displaystyle \int(x^{2}+2x+3)dx$ 　

（２） $\displaystyle \int(2x-1)^{2}dx$ 　

（３） $\displaystyle \int_{1}^{3}(x^{2}-4x+3)dx$

（４） $\displaystyle \int_{1}^{4}(x-1)^{3}dx$

（５） $\displaystyle \int_{α}^{β}(x-α)(x-β)dx$

解答

（１） $\displaystyle \int(x^{2}+2x+3)dx$

$=\dfrac{1}{3}x^{3}+x^{2}+3x+C(Cは積分定数)$

（２） $\displaystyle \int(2x-1)^{2}dx$ 　

$\displaystyle =\int(4x^{2}-4x+1)dx$

$=\dfrac{4}{3}x^{3}-2x^{2}+x+C(Cは積分定数)$

(別解) $=\dfrac{1}{6}(2x-1)^{3}+C(Cは積分定数)$ 　

（３） $\displaystyle \int_{1}^{3}(x^{2}-4x+3)dx$

$\displaystyle=\left[\dfrac{1}{3}x^{3}-2x^{2}+3x \right]^{3}_{1}$

$=(\dfrac{1}{3}×3^{3}-2×3^{2}+3×3)-(\dfrac{1}{3}×1^{3}-2×1^{2}+3×1)$

$=(9-18+9)-(\dfrac{1}{3}-2+3)=-\dfrac{4}{3}$

（４） $\displaystyle \int_{1}^{4}(x-1)^{3}dx$

$\displaystyle =\int_{1}^{4}(x^{3}-3x^{2}+3x-1)dx$

$\displaystyle=\left[\dfrac{1}{4}x^{4}-x^{3}+\dfrac{3}{2}x^{2}-x \right]^{4}_{1}$

$=(\dfrac{1}{4}×4^{4}-4^{3}+\dfrac{3}{2}×4^{2}-4)-(\dfrac{1}{4}×1^{4}-1^{3}+\dfrac{3}{2}×1^{2}-1)$

$=(64-64+24-4)-(\dfrac{1}{4}-1+\dfrac{3}{2}-1)=20+\dfrac{1}{4}=\dfrac{81}{4}$

(別解) $\displaystyle=\left[\dfrac{1}{4}(x-1)^{4} \right]^{4}_{1}$

$\displaystyle=\dfrac{81}{4}-0=\dfrac{81}{4}$

（５） $\displaystyle \int_{α}^{β}(x-α)(x-β)dx$

$\displaystyle=\int_{α}^{β}(x-α)(x-β)dx=\int_{α}^{β}(x-α)(x-α+α-β)dx$

$\displaystyle=\int_{α}^{β}\{(x-α)^2-(β-α)(x-α)\}dx$

$\displaystyle=\left[ \dfrac{1}{3}(x-α)^3-\dfrac{1}{2}(β-α)(x-α)^2\} \right]^{β}_{α}$

$\displaystyle=\dfrac{1}{3}(β-α)^3-\dfrac{1}{2}(β-α)^3=-\dfrac{1}{6}(β-α)^3$

解説

基本は $\displaystyle \int x^{n}dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+C(Cは積分定数)$

を使うことになりますが、もう一つ

$\displaystyle \int(ax+b)^{n}dx=\dfrac{1}{a(n+1)}(ax+b)^{n+1}+C(Cは積分定数)$

を覚えておくと(2)(4)(5)は解きやすくなる(別解の通り)と思います。

(5)はいわゆる $\dfrac{1}{6}公式$ で(3)はこれを使っても解くことができます。

（３） $\displaystyle \int_{1}^{3}(x^{2}-4x+3)dx$

$=-\dfrac{1}{6}(3-1)^{3}=-\dfrac{4}{3}$